PERBANDINGAN RUAS GARIS DALAM BENTUK VEKTOR

PERBANDINGAN RUAS GARIS DALAM BENTUK VEKTOR

  Pada pembahasan sebelumnya, kalian telah mengetahui jika P,Q, dan R adalah titik-titik sembaang dalam sistem koordinat cartesius maka vektor OP,OQ dan QR dapat diwakili oleh vektor-vektor p,q dan r. vektor-vektor p,q, dan r disebut vektor posisi dari titik-titik P,Q dan R.






1. PERBANDINGAN SEGMEN GARIS 
     

Perbandingan segmen garis pada gambar 5.38 (a) dinamakan perbandingan di dalam,sedangkan perbandingan segmen garis pada gambar 5.38 (b) dan gambar 5.38 (c) adalah perbandingan diluar.

sekarang,perhatikan gambar berikut.

Pada gambar diatas,diketahui vektor posisi titik P dan Q berturut-turut adalah vektor p dan q.titik R pada ruas garis PQ mempunyai perbandingan m : n atau PR : RQ = m : n. jika vektor posisi titik R adalah  r, untuk menentukan vektor r dapat dilakukan dengan cara berikut:

     PR : RQ = m : n 

=  nPR = mRQ

=  n (r -  p)= m (q - r)

=  n r + mr = mq + np

= r= mq + np/ m+n

jadi,berdasarkan gambar diatas vektor  r  dapat dinyatakan dengan rumus 

Rumus ini dapat digunakan untuk vektor yang berada dalam ruang (dimensi tiga).

2. TITIK-TITIK SEGARIS (KOLINEAR)

     

    Tentu kalian masih ingat bahwa jika k suatu skalar dan a = kb maka a dan b  sejajar . Demikian juga , jika  AB = kBC maka AB dan BC sejajar.

perhatikan gambar berikut:

Titik-titik P , Q dan R terletak segaris.Pasti PQ sejajar dengan QR sehingga dapat ditulis PQ = kQR. (ingat syarat dua garis sejajar). karena Q adalah titik yang sama-sama dilalui oleh PQ dan QR maka P,Q dan R adalah segaris jadi, dua atau tiga garis dikatakan segaris, selain garis-garis itu sejajar, juga harus mempunyai titik yang sama-sama dilalui garis-garis itu

Titik P,Q dan R segaris jika dapat dituliskan PQ=kQR dan Q titik yang sama-sama dilalui oleh PQ dan QR

3. TEOREMA CEVA(PENGAYAAN)

           Perhatikan gamabar di bawah ini

Misalkan diberikan segitiga ABC. Titik D,E dan F berturut-turut terletak pada sisi CA,AB dan BC sedemikian rupa sehingga ruas garis AF,BD dan CE berpotongan disatu titik maka berlaku teorema ceva berikut.

E. PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR   PADA VEKTOR LAIN

          Tahukah kalian apakah arti proyeksi? Kali ini kita akan mempelajari proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain. Sebelum mempelajarinya lebih lanjut,

           Pada gambar tersebut, proyeksi titik A pada ruas garis AD adalah titik A sendiri. Proyeksi titik B pada ruas garis AD adalah titik C. Bagaimana dengan proyeksi ruas garis AD? Tentu, proyeksi ruas garis AB pada ruas garis AD adalah ruas garis AC.

        Vektor c adalah proyeksi ortogonal a pada vektor b. Vektor c dapat diperoleh dengan menarik titik ujung vektor a, kemudian memproyeksikannya pada vektor b. Vektor c ini memiliki arah yang sama dengan arah vektor b. Vektor c dapat ditentukan dengan cara berikut.

        Bagaimana menentukan panjang proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b?  Kita telah menemukan vektor c yang merupakan vektor proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b. Kita akan menemukan panjang proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b,yaitu |c|. Perhatikan ilustrasi pada gambar berikut : 

Pada gambar diketahui panjang vektor a adalah |a| dan panjng vektor c adalah |c|. Pada Gambar 5.51,kita dapat memperoleh:

Nilai |c| inilah yang merupakan panjang proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b . Perlu juga kalian ketahui bahwa panjang proyeksi ortogonal vektor a  pada vektor b biasanya disebut sebagai proyeksi skalar ortogonal dari vektor a pada vektor b.

         

VEKTOR PADA BIDANG

Hai,kembali lagi di blog kami, ini adalah postingan kami yang kedua kali ini kami akan membahas tentang materi vektor pada bidang . Ayo guys jangan lupa komentarnya yaaa guys in syaa Allah kami akan jawab!!! semoga apa yang kami tulis bermanfaat yaa guysss

A. Vektor Pada Bidang (Dimensi Dua)
1. Vektor Posisi
         Vektor posisi suatu titik adalah sebuah vektor yang pangkalnya di titik pangkal koordinat dan ujungnya di titik itu. Perhatikan gambar di bawah ini

dari gambar di atas,tampak bahwa

       Berdasarkan pengertian diatas,manakah yang disebut vektor posisi,AB,OP atau CD? benar, vektor AB dan vektor CD bulan vektor posisi sebab pangkalnya tidak di titik pangkal koordinat O (titik origin),sedangkan vektor OP merupakan vektor posisi dari titik P karena pangkalnya di titik pangkal koordinat O (0,0) dan ujungnya di titik P.

Vektor posisi sebuah titik P di tulis dengan lambang :

Untuk selanjutnya,coba kalian pahami vektor satuan berikut. Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan. Dalam sebuah bidang (dimensi dua) vektor satuan searah sumbu x dinamai i dan satuan searah sumbu y dinamai j. Setiap vektor dapat dinyataknan sebagai vektor posisi ai + bj. Oleh karena itu vektor posisi titik P(4,2) dapat ditulis dalam bentuk p = OP = 4i + 2j. 

Perhatikan gambar dibawah ini!

Pada gambar di atas,kita dapat melihat bahwa:





Dengan kata lain, vektor AB = b - a = OB - OA.Jadi, dapat disimpulkan bahwa vektor AB dapat diperoleh dari vektor posisi titik B dikurangivektor posisi titik A.

Secara umum dapat dinytakan sebgai berikut:

2. Menyatakan vektor pada bidang

Misalkan i dan j adalah vektor dengan panjang satu satuan,yang berturut-turut searah dengan sumbu x positif dan y positif. Perhatikan titik R(4,3) pada gambar di atas. Dari gambar di atas, tampak vektor OP = 4i dan vektor OQ = 3j. Berdasarkan aturan penjumlahan,diperoleh sebagai berikut:

OR = OP + PR
       = OP + OQ
       = 4i + 3j

3. Sifat-sifat aljabar pada vektor

4. Panjang vektor pada bidang 

                                                      

         Tentu kalian masih ingat teorema (dalil) pythagoras, bukan? Teorema ini akan mempermudah kalian dalam menentukan panjang suatu vektor.Misalkan R adalah titik pada koordinat Cartesius yang ditunjukkan pada gambar di samping.

Agar lebih jelas dan lebih dipahami, materi ini dapat didownload dalam format PDF dengan mengklik link download di bawah ini!

Download PDF

Terima kasih telah berkunjung di blog kami. Mohon maaf bila terdapat banyak kekurangan. Jangan lupa nantikan postingan kami selanjutnya yah. Terima kasih...

DEFINISI VEKTOR

Hai Kami dari dailyvector_mat!!! Seperti namanya,kami adalah salah satu kelompok belajar yang akan membahas materi tentang vektor dan kami berharap apa yang kami jelaskan dapat bermanfaat bagi teman-teman yang membaca blog kami. Ayo teman-teman dibaca dengan seksama yahhhh !!!!!

Nama anggota kelompok:

Rahmah Aulia Putri

Andi Tantri

Septiana Dian

Imel Van Asti

Keisha Nikol

Lady Meirizki

Meli Handayani

Prima Jenny

Agung Ramadhan

Muh.Arfan

Muh.Rizki

Muh.Irsan 

                                                                                         

A. Definisi vektor dan operasinya

1. Definisi vektor                                 

      Vektor adalah besaran yang mempunyai  nilai dan arah. nilai disini maksudnya panjang dari vektor tersebut sedangkan arahnya sesuai dengan mata angin.suatu vektor dinamai dengan huruf kecil dengan tanda panah diatasnya maupun dibawahnya. Vektor juga sering dinotasikan dengan huruf kecil cetak tebak misalnya v. Perhatikan gambar di samping. Pada gambar disamping vektor v yang mempunyai titik pangkal dititik A dan titik ujung dititik B. sehingga, panjang vektor v adalah panjang dari titik A ke titik B.  Dalam bentuk matriks vektor v dapat dituliskan sebagai berikut:

       Untuk komponen x, jika arahnya kekananmaka tandanya positif,sedangkan jika arahnya ke kiri,maka tandanya negatif. Untuk komponen y jika arahnya ke atas, berarti tandanya positif, sedangkan arahnya ke bawah tandanya negatif.

      Selain nilai dan arah ada beberapa hal yang berhubungan dengan vektor yaitu jarak dan perpindahan. Misalnya Rahmah dan Tantri berjarak 4 m, kemudian Rahmah berjalan ke arah Tantri maka jarak dan perpindahannya adalah 4 m. Namun jika Rahmah kembali ke tempat awal ia berdiri maka jaraknya akan berubah menjadi 8 m sedangkan perpindahannya menjadi 0.

2. Operasi aljabar pada vektor

      Sebagaimana bilangan pada vektor juga berlaku operasi aljabar atau lebih dikenal dengan kalibataku yaitu kali,bagi,tambah,dan kurang. Dalam penjumlahan dan pengurangan vektor berlaku 2 cara yaitu cara segitiga dan cara jajargenjang. 

a. Penjumlahan vektor

        

Pada gambar di atas terdapat dua buah vektor pada bidang cartesius yaitu vektor a dan b. Dapat kita lihat bahwa 

Cara segitiga :

Contoh

Perhatikan gambar di bawah ini!

Gambarlah vektor AB +  BC dan tentukan komponen x dan komponen y vektor AC

Jawab : 

Cara jajargenjang:

        Secara geometris, resultan hasil penjumlahan vektor a dan b yaitu c = a + b   dapat digambarkan seperti gambar di samping. Terlebih dahulu,geser vektor b sehingga titik pangkal b berimpit pada titik pangkal a. Dalam hal ini, vektor b tidak berubah besar dan arahnya. Selanjutnya buatlah jajargenjang semu yang di bentuk oleh vektor a dan b. Vektor c adalah vektor yang berimpit dengan diagonal utama jajargenjang tersebut.

b. Pengurangan vektor

      Pengurangan vektor tidak jauh berbeda dari penjumlahan vektor. namun dalam pengurangan vektor jika sebuah vektor a mempunyai arah timur laut, maka vektor -a mempunyai arah yang berlawanan yaitu barat daya.Perhatikan gambar di bawah ini!

Seperti yang kalian ketahui jika arah suatu vektor berlawanan dengan arah vektor semula misalnya vektor a dapat dituliskan vektor -a.

c. Perkalian vektor dengan skalar

                                    

Berdasarkan gambar di atas, dalam bentuk vektor kolom vektor a dapat ditulis sebagai berikut.

Berdasarkan sifat perkalian matriks dengan skalar maka 

                   

Misalkan vektor b adalah vektor yang searah dengan vektor a,tetapi memiliki panjang 3 kali vektor a.Vektor b dapat di tuliskan dengan b = 3a .Apabila vektor b memiliki arah yang berlawanan maka b dapat dituliskan dengan b = -3a.

Contoh soal 

          




Jawab 

Agar lebih jelas dan lebih mudah dipahami, materi ini dapat didownload dalam format PDF dengan mengklik link di bawah ini!
Download PDF

Terima kasih bagi teman-teman yang sudah membaca blog kami dan kami meminta maaf apabila ada kata maupun kalimat yang kurang baik . THANK YOU FOR READ IT 💓💓💓